العودة   منتدى لغة الروح > لغة الفيزياء > الفيزياء العامة


الزمر البسيطة وهي تعمل

كل ما يخص الفيزياء العامة


إضافة رد
 
أدوات الموضوع انواع عرض الموضوع
#1  
قديم 04-17-2016, 07:19 PM
mo7med غير متواجد حالياً
لوني المفضل Cadetblue
 رقم العضوية : 647
 تاريخ التسجيل : Apr 2016
 فترة الأقامة : 1684 يوم
 أخر زيارة : 11-09-2017 (06:56 PM)
 المشاركات : 101 [ + ]
 التقييم : 30
 معدل التقييم : mo7med is on a distinguished road
بيانات اضافيه [ + ]
110302 Imgcache الزمر البسيطة وهي تعمل



الزمر البسيطة وهي تعمل(*)
هناك مجموعة من الأحجيات مستوحاة من مكعب روبك Rubik توفّر لهواة الأحجيات إمكانية الاطلاع على سرّ تلولب ودوران كائنات رياضياتية تدعى الزمر البسيطة المشتتة sporadic.
مفاهيم مفتاحية
التوفيق في «حل» مكعب روبك مرتبط باكتشاف متتاليات قصيرة من الحركات تجعلنا نبلغ أهدافا محدودة.
لكن الاستراتيجية كانت ناجحة إلى حد جعل المؤلفيْن يتوقان إلى صياغة أحجيات تتطلب حلولها تكتيكات جديدة.
بالاعتماد على النظرية الرياضياتية المتعلقة بالزمر الموضحة بجلاء عبر مكعب روبك، استنبط المؤلفان ثلاث ألعاب جديدة تتحدى جيل اليوم من هواة الأحجيات وتعقيدات «الزمر البسيطة المشتتة».
محررو ساينتفيك أمريكان

ما من شك أن ملايين البشر قد احتاروا ذات يوم في مكعب روبك، تلك الأحجية التي هزّت العالم خلال الثمانينات من القرن الماضي. وإن كنتَ نسيتَ هذه الأحجية ـ أو نسيتَ سنوات الثمانينات ـ فنذكّرك بأن هذا المكعب هو جسم بلاستيكي gizmo مكون من 27 مكعبا صغيرا، سنسميها «مُكَيْعِبات»، محشوةً داخل مكعب كبير، بمعدل ثلاثة مكيعبات على كل حرف من حروفه. ويتميّز كل وجه من الوجوه الستة للمكعب الكبير بلون واحد من ألوان ستّة لافتة للنظر ـ وهي تحديدا الأزرق والأخضر والبرتقالي والأحمر والأصفر والأبيض. كنا نقول إن المكعب يبدو محشوا بمكيعبات، غير أن هذا المظهر هنا مظهر مضلل. ففي عام 1974، ابتكر المجري <E. روبك> نظاما ميكانيكيا بديعا (وكذلك فعل، بشكل مستقل، مهندس ياباني يدعى <T. إشيگي> عام1976) يسمح لكل وجه من الوجوه الستة المربّعة الشكل للمكعب الكبير بالدوران حول مركز ذلك الوجه (انظر المؤطر في الصفحة 48). قم بتدوير وجوه المكعب بشكل عشوائي خمس أو ستّ مرات وستحصل على مكعب مختلط الألوان بشكل لا يمكن إعادته إلى وضعيته الأولى إلاّ من قبل خبير ـ سيّد المكعب(1). والهدف من الأحجية هو ردّ المكعب بعد تحريك وجوهه عشوائيا إلى وضعيته الأولى، وهي الوضعية التي يكون فيها لون كل وجه لونا موحّدا. ذلك ما سنسمّيه «حلّ» المكعب.

يُعرف مكعب روبك ومجسم روبك وجميع التسميات الأخرى التي ظهرت في سياق المكعب باسم: أحجيات التبديل permutation puzzles؛ لأنها تعتمد على نقلات تعيد إلى ما كان عليه ترتيب قِطع الأحجية (أي المكيعبات في حالة مكعب روبك). فالغرض في كل حالة هو الحصول على ترتيب معيّن مسبقا، انطلاقا من ترتيب مفروض لقطع الأحجية. والغالب أن الترتيب المطلوب هو التشكيلة الأولى «العذراء» للأحجية. إن أحجيات التبديل مرتبطة ارتباطا وثيقا بكائن رياضياتي يسمى زمرة التبديلات permutation group، وهي مجموعة جميع النقلات المتتالية الممكنة التي تؤدي إلى ترتيبات مختلفة لمكونات الأحجية.

يمكن أن ننظر إلى الزمرة في الرياضيات على أنها تعميم للحساب المعتاد. إن الأعداد 0، 11، 12، وهكذا دواليك، تشكّل زمرة إذا ما أرفقت بها عملية الجمع لتوليدها. غير أنه يمكن تشكيل زمر من أنواع أخرى كثيرة من الكائنات، مثل دورانات وانعكاسات أجسام مادية، وكذا مختلف أنواع التبديلات التي يمكن أن تطبق على مجموعات الأحرف الأبجدية أو الأشياء، أو على صفوف الأعداد التي نسميها المصفوفات المربّعة squarematrices، وهلمّ جرا، وذلك عندما نزودها بعملية يمكن إجراؤها على تلك الكائنات، بحيث يكون حاصل العملية في كل مرة عنصرا من الزمرة.

وفضلا عن فائدتها ضمن الرياضيات البحتة، فإن لنظرية الزمر أيضا تطبيقات مهمة خارج الرياضيات، مثل حقل علم البلورات crystallography وفيزياء الجسيمات الأولية ونظرية الأوتار string theory، وحتى في حقل الاتصالات من بعد telecommunications. وعليه فإن تعرّف طرائق سلوك الزمر مهمّ في تحدياته العلمية، سواء بالنسبة إلى الطلبة أو إلى رجال العلم المحترفين؛ ومن ثمّ صار استخراج حلّ لمكعب روبك وسيلة رائعة تمكّن الناس من تصوّر الكيفية التي يتم فيها ضم عناصر بعض أنواع الزمر المجردة.

غير أن الناس عندما يبلغون هذا المستوى من التحكّم في أداء المكعب، يجدون أن استراتيجيات حلولهم تكافئ القيام بحل افتراضي لجميع أحجيات التبديل الموافقة بالتطبيق المباشر لهذه الاستراتيجيات. وعند هذه النقطة يمكن القول بصراحة إن أحجية التبديل سوف تفقد عنصر الإثارة. تلك هي، على الأقل، حال تجربتنا الشخصية مع المكعب. لكننا ندرك أيضا أن هناك سببا رياضياتيا لخيبة أملنا. فكل الأحجيات الخاصة بالمكعبات تمثّل زمرا تتمتع بخاصية ذات طابع عام، ومن ثم فهي تخضع لطرائق المعالجة العامة نفسها. إلا أن هذه الزمر لا تستنفد في أي حال من الأحوال التنوع الرياضياتي لمفهوم الزمر.

الزمر البسيطة تعمل
أعداد متحركة تقوم برقصة خيالية كما لو كانت تعيد ترتيب نفسها وفق حركة «متناسقة» في سياق الأحجية M12 الجديدة لكاتبي المقالة ـ وهي إحدى الأحجيات الثلاث «البسيطة والمشتتة» التي ابتدعاها.

إن ما نبتغيه من الناحية التربوية هو طريقة مسلية لتطوير حدس الناس في موضوع الزمر تختلف تماما عن تلك التي يمثلها المكعب. وأما ما نبتغيه في موضوع التسلي بالأحجيات فهو الوصول إلى مجموعة جديدة من الأحجيات تتطلب حلولها استراتيجية تختلف في جوهرها عن تلك المستخدمة في مكعب «روبك» أو ما يماثله. فقد قمنا بالربط الطبيعي بين هذين الهدفين عن طريق تطوير ثلاث أحجيات جديدة تعتمد على الزمر المسماة بالزمر البسيطة المشتتة التي تتمتع بخواص مميّزة لا يلمّ بها إلا المختصون. ولحسن الحظ، كانت تجارب زملائنا قد بيّنت أن جميع من يعرف كيف يتعلم حل مكعب «روبك» قادر أيضا على الإلمام بأساسيات هذه الزمر البسيطة المشتتة عندما يتناول أحجياتنا. والأكثر من ذلك أن هذه الأحجيات بحد ذاتها تشكل تحديا، لأنها لا تخضع للقواعد والطرائق التي يعالج بها مكعب «روبك» ـ كما نعتقد أن فيها الكثير من المتعة. ولذا فنحن ندعو القراء الذين يريدون الخوض في هذه الأحجيات إلى تحميلها على حواسيبهم (الألعاب الثلاث M12 و M24و«دوتو» Dotto متوافرة في الموقع [عزيزى الزائر لايمكنك مشاهده الروابط الا بعد التسجيلللتسجيل اضغط هنا].

الأحجيات وزمرها(**)
حتى نحلّ الأحجيات الجديدة، فإنه من المفيد الإلمام ببعض مبادئ الزمر البسيطة المشتتة التي منها أنشئت تلك الأحجيات؛ كما أنه من المهم إدراك ما يميّزها من الزمرة التي يمثلها مكعب روبك: «زمرة روبك». يمكن للزمر أن تكون منتهية الحجم أو غير منتهية. فمن الواضح أن زمرة الأعداد الصحيحة المزودة بعملية الجمع، التي أشرنا إليها آنفا، زمرة لها عدد غير منته من العناصر، بينما نجد أن عدد عناصر زمرة روبك منتهٍ، حتى وإن كانت مجموعة الحركات المتتالية الممكنة لمكعب روبك مجموعة غير منتهية. والسبب في ذلك يكمن في أنه إذا أدت متتاليتان مختلفتان من الحركات، إلى الانتقال من ترتيب ابتدائي ما للمُكَيْعبات، إلى الترتيب الابتدائي نفسه للمكعب، فإننا نعتبر أن المتتاليتين متكافئتان. إن عدد التشكيلات المختلفة للمكيعبات في مكعب روبك عدد ضخم ـ نحو 4x 1019، وبالتحديد 000 856 489 274 003 252 43، وبالتالي فعدد العناصر، أي عدد مختلف التوفيقات combinationللحركات في الزمرة التي يمثلها المكعب، ضخم جدا، لكنه منته.

وعلى الرغم من هذا الاتساع «لفضاء» الحركات، فليس من الصعب استنباط حل للمكعب باتباع جملة من الإرشادات العامة. أنت بحاجة إلى قلم وورق وإلى مكعب روبك الذي يستحسن أن يكون في وضعيته الأصلية(2). ولتحقيق غايتك المكونة من شقين، يلزمك أولا طريقة مناسبة لتسجيل الحركات التي تقوم بها (انظر المؤطر في الصفحة 48). ويلزمك ثانيا اكتشاف متتاليات قصيرة مختلفة من الحركات التي يمكنك تسجيلها لإنجاز مهمات محددة: كتبديل موقعي زوج من مكيعبات الزوايا أو مكيعبات الأحرف (انظر المؤطر في الصفحة 49). تنحصر الفكرة في دمج سلاسل الحركات تلقائيا لحل مكعب ملخبط.

[تكنيكات الأحجية 1]
مكعب روبك المشفّر(***)
يعتمد حلّ الأحجية المقدمة من المؤلفين على تقانات تمّ تطويرها بهدف دراسة كائنات رياضياتية تسمى زمرا. ومن تقانات الأساسية الناجمة عن نظرية الزمر تقانة تتمثل في تحديد نظام بسيط وواضح يكشف عن عناصر الزمرة وكيفية تداخلها.
لنوضح ذلك
الزمر البسيطة تعمل
يمثل مكعب «روبك» زمرة عناصرها حركات ـ الحركات التدويرية التي يمكن أن يقوم بها كل وجه للمكعب ـ والتي يمكن أن نسمي قاعدة تركيب هذه الحركات عملية «ومن ثمّ فإن»: «قم بحركة لولبية ثم قم بأخرى.» توضح الآلية المبيّنة في الشكل في اليسار، أنه لا يهمّ كيف تمت حركة البعثرة. فالقطع الصغيرة (المكيْعبات) في مركز كل وجه لا تتحرك (إذا استثنينا حركات الدوران حول مراكزها). ولذلك فكل حركة تهدف إلى حلّ المكعب يمكن تمثيلها بأول حرف لكلمة لون المكيْعب الموجود في المركز ـ الأزرق B، أو الأخضر G، أو البرتقالي O، أو الأحمر R، أو الأصفر Y، أو الأبيض W ـ إضافة إلى تحديد طريقة تدلنا على عدد الحركات اللولبية التي تتطلبها الحركة. ويوضح كل حرف(3)أن الوجه الذي له ذلك اللون ينبغي أن يُدَار 90 درجة في اتجاه عقارب الساعة - انظر إلى الوجه نحو «الأسفل» من خارج المكعب (الشكل أدناه يوضح حركتي Y و B). وهناك أس يشير إلى أنواع أخرى من الدورانات. B2 يعني دوران الوجه الأزرق 180درجة؛ كما يعني Y-1 أن الوجه الأصفر دار 90 درجة في اتجاه عقارب الساعة (انظر أدناه). ويمكن أن نحدد توجيه المكعب بألوان المكيْعبات المركزية المرئية الثلاثة وفق اتجاه عقارب الساعة، مبتدئين بالمكيعب المركزي الواقع في الأعلى؛ علما بأن التوجيه في الأشكال أدناه مثلا هو وفق OYB.
الزمر البسيطة تعملالزمر البسيطة تعملالزمر البسيطة تعملالزمر البسيطة تعملالزمر البسيطة تعمل
Y B B2 Y-1
إرشاد: الترتيب مهمّ
إن تسلسل الحركات يعدّ حاسما في حلّ المكعب، ولذا فالترميز لا بد أن يميّز الفوارق. الحركتان المركبتان YB و BY لا تؤديان إلى التشكيلة النهائية نفسها عندما تنطلقان من الترتيب نفسه للمكيعبات.
الزمر البسيطة تعملYBالزمر البسيطة تعملBYالزمر البسيطة تعمل

لقد تبين أن هذه الطريقة المنهجية تبدأ بالمحاولة والخطأ، وهي تؤدي، لا محالة، إلى متتاليات مفيدة تزودك بقسط وافر من المرونة لحل المكعب. وبعبارة بسيطة، السبب في ذلك يعود إلى المركبات الجبرية الأساسية لزمرة روبك، وهي ما يسمى بالزمر المتناظرة ـ التي تمثّل زمر جميع التبديلات الممكنة لعدد من الكائنات ـ والزمر الوثيقة الصلة بها، وهي الزمر المتناوبة alternating ـ التي تحتوي كل منها على نصف عناصر الزمرة المتناظرة الموافقة لها. وهكذا فالزمرة المتناظرة S3 تحتوي 3! (أي x1 x 2 x 3) أو 6 عناصر، وهو عدد التبديلات الممكنة لثلاثة كائنات (انظر المؤطر في الصفحة50 )؛ أما الزمرة المتناوبة المتصلة بها A3 فلها ثلاثة عناصر. ومن بين الزمر المتناظرة ذات الصلة بزمرة «روبك» الزمرة المتناظرة S8 (وهي تتكون من 8! =320 40 ، من الطرائق التي تتم بها إعادة ترتيب الزوايا الثماني للمكيْعبات)، والزمرة المتناظرة S12 (التي عدد عناصرها 12!، أي 479 001 600، وهي تمثل مختلف الطرائق التي تتم بها إعادة ترتيب الـ 12 حرفا للمكيْعبات).

الزمر البسيطة تعمل

«ذرات» التناظر(****)
إن أحجياتنا أيضا هي من نوع أحجيات التبديل، غير أن كلا منها يعتمد على ما يسمى بالزمرة البسيطة المشتتة. وحتى ندرك مفهوم الزمرة البسيطة المشتتة نبدأ بمفهوم الزمرة الجزئية. لنفترض أنه يمكنك فقط تدوير وجهين، الأزرق والأصفر في مكعب روبك، فعند التقيد بهذا الشرط لا يمكنك أبدا تحريك وجه المكيعب الملون بالأخضر أو الأبيض. ولذا فعدد المتتاليات المختلفة لهذه الحركات المقيّدة سيكون أصغر من عدد العناصر في زمرة «روبك» برمّتها. فإذا حدث وكانت جميع التراكيب لعناصر مجموعة جزئية من الحركات في زمرة الأحجية تنتمي إلى هذه المجموعة، قلنا إن هذه المجموعة هي زمرة جزئية. وبعد الإلمام بهذه الفكرة يصبح مفهوم الزمرة البسيطة ذا طابع تقاني إلى حد كبير؛ لذا يكفي أن نقول إن الزمرة البسيطة هي زمرة لا تحوي زمرا جزئية، نظاميةnormal (انظر الشرح المفصل في مؤطر الصفحة 50).

يعتبر لفظ «بسيط»، كما هو مستعمل في نظرية الزمر، من المصطلحات الأكثر مغالطة في تاريخ الرياضيات. حيث تبيّن أن الزمر البسيطة تحتوي على أكثر الكائنات تعقيدا لدى الرياضياتيين. وعلى الرغم من ذلك فهي بسيطة، بمعنى أنها تشكل اللبنات الأولى، أو «الذرّات»، لنظرية الزمر. ومن هذا المنظور فإن الزمر البسيطة تشبه أيضا الأعداد الأولية، وهي الأعداد التي لا تقبل القسمة إلا على نفسها وعلى 1 (مثل 2، 3، 5، 7، 11، وهلم جرا). فكلّ زمرة منتهية تحلل بشكل وحيد إلى زمر بسيطة تماما كما يحلل عدد صحيح إلى أعداد أولية.

لقد تمّ تحديد وتصنيف كافة الزمر البسيطة المنتهية. واكتشفت ما بين الستينات و1980، أما التصنيف فأنجز بين أواخر الأربعينات من القرن العشرين ومطلع الثمانينات (مع بعض التصحيحات الحديثة) معتمدا على أعمال مئات الرياضياتيين. وكانت تقارير اكتشافات الزمر البسيطة والبرهان على اكتمال القائمة النهائية قد استهلكت00010 صفحة في المجلات الرياضياتية المتخصصة، وقد نشرت في نحو 500 مقالة. كما أن الرياضياتيين لا يزالون يشتغلون بتبسيط هذا البرهان، وهو ما قد يزيد في إلمامهم بالزمر البسيطة. غير أن البرهان الذي في حوزتنا الآن يبيّن أن هناك 18 عائلة من الزمر البسيطة المنتهية ـ وكل عائلة تضم مجموعة غير منتهية من أنواع الزمر الخاصة ـ و 26 زمرة تدعى زمرا مشتتة، وهي كائنات رياضياتية غريبة الأطوار في جوهرها. وليس هناك زمر أخرى غير التي ذكرناها.

ثلاث أحجيات،
وكثير من الحركة(*****)
* الأحجية M12 (التي تعتمد على زمرة ماتيوM12 Mathieu ) : تبديلة 040 95.
* الأحجية M24 (التي تعتمد على زمرة ماتيو M24) : تبديلة040823 244.
* الأحجية «دوتو» Dotto(التي تمثل زمرة كونواي Co0Conway) :
000 720 086 613 553 8315 تبديلة.
الزمر البسيطة تعمل


الأحجيات البسيطة المشتتة(******)
لقد أنشأنا أحجيات تعتمد على الزمر البسيطة المشتتة المعروفة باسم M12 و M24 و Co1. إنها أحجيات التبديل كما هو حال مكعب روبك، غير أن التبديلات التي تمثل الزمر البسيطة المشتتة أكثر تقييدا على التبديلات المتاحة، مقارنة بما هو الحال في الزمر المتناظرة. وعليه فإن الكثير من ترتيبات الأعداد لا يمكن بلوغها مهما كان عدد الحركات التي نقوم بها.

[تكنيكات الأحجية 2]
مكعب روبك المشفّر(*******)
إن أحجيات التبديل مثل مكعب «روبك» التي تهدف إلى إعادة ترتيب القطع وفق تشكيلة محددة هي أحجيات يمكن حلها عادة باتباع استراتيجية الخطوتين التالية:
الخطوة 1
بطريقة التجربة والخطأ اختر متتالية عشوائية قصيرة من الحركات، مثل YBY-1B-1 (تم شرح هذا الرمز في مؤطر الصفحة المقابلة).
الزمر البسيطة تعمل
أعد تنفيذ المتتالية العشوائية عدة مرات. إن ذلك يؤدي في أغلب الأحيان إلى ترتيب لا يتحرك فيه سوى عدد بسيط من المكيْعبات ـ وهذه أداة مفيدة تساعد على حل المكعب. هنا نقوم بثلاث تجارب، أي YBY-1B-1)3) فيتبادل زوجان من المكيعبات الركنية (أي الواقعة في زاويتين من زوايا المكعب): الزوج المحاذي للوجهين الأزرق والبرتقالي (المكيعبان P و Q في الشكل أدناه) والزوج المحاذي للوجهين الأصفر والأحمر.
الخطوة 2
قم بتعديل وتعميم الحركة المفيدة التي حصلت عليها. فعلى سبيل المثال، حتى نبادل زوجا من المكيعبات الركنية المحاذية للوجهين الأحمر والأبيض (المكيعبين E و F في المكعب «الأصلي»، بالاتجاه GWR، الشكل أدناه)، ابحث عن الحركة التي "تُنَصِّب" ما تعتبره «الحركة المفيدة». نفذ المتتالية القصيرة من الحركات W2O-1 وسينتقل المكيعبان E و F إلى الموقعين P وQ (وحتى يكون الأمر أوضح فقد أعدنا التوجيه من GWR إلى OYB). والآن يمكنك تنفيذ الحركة YBY-1B-1)3)فيزول الترتيب الأول، حيث تتمّ حركة معاكسة في ترتيب مقلوب OW-2، وبذلك نعود إلى الاتجاه الابتدائي لوجوه المكعب GWR. وحاصل العملية هو المبادلة بين المكيعبين الركنيين E و F (انظر الشكل أدناه).
الزمر البسيطة تعمل
يمكن أيضا إيجاد متتالية مفيدة مماثلة لتحريك أي زوج مكيعبين ركنيين إلى أحد الزوجين اللذين وقعت مبادلتهما عبر YBY-1B-1)3) وعندئذ يمكن إنشاء حركة تسمح بمبادلة أي زوج من المكيعبات الركنية. كما أن العمل على المنوال نفسه بمتتالية عشوائية ثانية يعطي مرونة كافية لحل المكعّب، وكذلك حلّ أية أحجية تبديل كلاسيكية أخرى.

وكما ذكرنا آنفا فإن الاستراتيجية المعتمدة في حل المكعب وحل أحجيات أخرى والتي ترتكز على الزمر المتناظرة، لا تصلح بالنسبة إلى أحجياتنا الجديدة. لكنه بالإمكان تطوير استراتيجيات أخرى انطلاقا من إرشادات بسيطة حول الزمر.

وأبسط أحجياتنا الثلاث هي M12، المعتمدة على الزمرة البسيطة المشتتة التي تحمل الاسم نفسه. تمثل زمرةM12 إحدى الزمر البسيطة المشتتة الخمس الأُوَل التي تم اكتشافها. وكان هذا الاكتشاف للزمر الخمس خلال الستينات من القرن الثامن عشر من قبل الرياضياتي الفرنسي <E. ماتيو>، وسميت زمر «ماتيو». وأما الأحجية التي ستكون أمام من يرغب في الحل فهي مجموعة الأعداد من 1 حتى 12 الموضوعة في صف واحد دون ترتيب، والمطلوب إعادة ترتيب هذه الأعداد إلى الترتيب الطبيعي (12، ...، 3، 2، 1) باستخدام حركتين فقط يمكن تكرارهما بالقدر الذي نريده من المرات وبأي تسلسل نرغب. (انظر المؤطر في الصفحة 51).

سوف نقدم إرشادا واحدا للقراء يوضح الأمر بكفاية لكي يقبل التحدي. ففي الأحجية (وكذا في الزمرة M12) بإمكاننا تحريك كلّ خمسة أعداد إلى أي خمسة مواقع من بين الـ 12 موقعا في الصف. وعندما يتم ذلك تظل الأعداد المتبقية في مواقعها؛ وعندئذ تكون الأحجية قد حلّت. وسبب ذلك أن عدد تبديلات الزمرة M12 هو 12x 11 x 10 x x 9 x 8، أي040 95 ، وهو بالضبط عدد الطرق التي تمكّن من اختيار أيِّ خمسة أعداد من بين ال12 عددا ووضع كل منها في موقع ما في السلسلة. (يمكن أن يأخذ أول عدد أي موقع من المواقع الـ 12، أما العدد الثاني فبوسعه اتخاذ أي موقع من المواقع الـ11 المتبقية، وهكذا دواليك.) ولمّا كانت التبديلة ستتحدد بدقة بمجرد تثبيت مواقع خمسة أعداد، فمن غير المفيد البحث عن سلسلة حركات تبدّل فقط عددا قليلا من الأعداد. وإذا استثنينا ما يسمى بالحركة الشكلية dummy، أو المنعدمة، التي تترك كل ترتيب من دون تغيير، فإن كل حركة لا بد أن تترك أقل من خمسة أعداد مثبتة. وبعبارة أخرى، كل سلسلة غير بديهية من الحركات تنقّل بالضرورة ثمانية على الأقل من الأعداد الـ 12.

أحجيات ليست لضعفاء القلوب(********)
أحجيتنا الثانية، M24، تتضمن 23 عددا مرتبًا على دائرة كما هو الوضع في الساعة الجدارية، أما العدد ال24فهو يقع خارج الدائرة عند موقع الساعة 12. وكما هو الحال في الأحجية M12 فلا يُسمح إلا بحركتين (انظر المؤطر في الصفحة 51). ومن الناحية النظرية يمكن صناعة الأحجية M24 من قطع مجسّمة بدل الاكتفاء بتمثيلها حاسوبيا؛ فالدائرة التي تحمل ال23 عددا يمكن تحريكها بأداة تدوير، ويمكن أيضا أن يقوم نظام مقابض بمبادلة أزواج الأعداد كما تتطلبها الحركات.

[أساسيات]
ما هي الزمرة البسيطة المشتتة؟(*********)
تمثل الأحجيات الثلاث الجديدة زمر تبديل بسيطة ومشتتة. لتوضيح معنى هذه العبارة لا بد من تقديم بعض التمهيدات.
ترميز
الزمرة «المتناظرة» Sn هي زمرة جميع التبديلات الممكنة، أو الترتيبات، لـ nكائنا أو رمزا موضوعة على الصف نفسه. وعلى سبيل المثال، فالزمرة المتناظرةS3 تمثل مجموعة التبديلات المختلفة الست المولدة من كافة الترتيبات الممكنة لثلاثة كائنات مختلفة. نلاحظ أن كل زمرة تبديلات تحتوي دائما على التبديلة «الشكلية» dummy، التي نرمز إليها ب(1)، وهي التبديلة التي لا تغيّر الترتيب.
الزمر البسيطة تعمل
أما التبديلة (1.2)، فتبادل الكائنين الموجودين في الموقعين الأول والثاني (الشكل a).
والتبديلة (1.3) تبادل الكائنين الموجودين في الموقعين الأول والثالث (انظر الشكل a). عندما نطبّق (1.3) على ناتج (1.2)، فإننا نكتب (1.2) (1.3)، وناتجها هو الموضح في الشكل a.
وتركيب هاتين التبديلتين يكافئ تطبيق تبديلة واحدة هي (1,2,3). إن الترميز يختزل كيفية مَوْقَعة الكائنات انطلاقا من الموقع الأول إلى الموقع الثاني، ثم من الموقع الثاني إلى الموقع الثالث، ثم من الموقع الثالث إلى الموقع الأول (الشكل b).
«الضرب» هو اسم اللعبة
الزمر البسيطة تعمل
يبيّن الجدول التالي الذي يمثّل التبديلات الست لثلاثة كائنات كيف يتفاعل الـ36
زوجا لعناصر S3. التبديلة «الشكلية» (1) تؤثر مثل العدد 1 في جدول الضرب العادي. لاحظ أن كل «جداء» تبديلتين في الجدول يساوي إحدى التبديلات الضربية الست (الخانات البيضاء)، تلك هي خاصية تتمتع بها جميع الزمر.
ماذا يحدث في زمرة جزئية، البقاء في الزمرة الجزئية
كل جداء تبديلتين من التبديلات الثلاث في المنطقة البرتقالية من الجدول يساوي إحدى التبديلات الثلاث ذاتها. وبفضل هذه الخاصية فإن مجموعة التبديلات الثلاث تشكل أيضا زمرة: ذلك ما نسميه زمرة جزئية من الزمرة الكبيرة S3.
يمكن دائما إبطال المفعول
مهما كانت التبديلة في العمود الأيسر من الجدول فإن أحد عناصر الجداء الواقع على صفها يساوي (1)، أي التبديلة الشكلية. وفي العمود نفسه الذي نجد فيه (1)، فإن التبديلة الواقعة في أعلى العمود تسمى التبديلة المعاكسة التي انطلقنا منها. وبعبارة مختصرة، كل تبديلة لها تبديلة معاكسة g-1. وعلى سبيل المثال، إن (1,3,2) هي التبديلة المعاكسة لـ (1,2,3) ونكتب (1,3,2) = (1,2,3)-1، وذلك لأن (1,2,3) (1,3,2) يساوي (1). كما نلاحظ أن (1,2) تساوي معاكستها، التي نكتبها أيضا (1,2)-1، حيث يتضح من الجدول أن (1,2) (1,2) = (1).
لنحشد الجميع
نسمي زمرة بسيطة كل زمرة ليس لها زمرة جزئية «ذاتية، نظامية». لكل زمرة زمرتان جزئيتان على الأقل، الزمرة ذاتها والزمرة الجزئية الوحيدة العنصر (1)؛ ما نسميه زمرة ذاتية هو أية زمرة جزئية أخرى (إن وجدت) غير الزمرتين السابقتي الذكر.
وماذا تعني «نظامية»؟
خذ أية تبديلة في الجدول، مثلا (1,2)، ثم «اضربها» في أية تبديلة من الزمرة المميزة البرتقالية اللون، مثلا في (1,2,3).
الزمر البسيطة تعمل
ثم اضرب الناتج في مقلوب التبديلة الأولى (التي انطلقت منها)، هنا (1,2):
الزمر البسيطة تعمل
باختصار:
الزمر البسيطة تعمل
إذا كان جداء الثلاث تبديلات المعرّف بالطريقة السابقة ينتمي إلى الزمرة الجزئية المعتبرة نفسها، فنقول إن الزمرة نظامية. لاحظ في المثال أن الجداء النهائي ينتمي فعلا إلى الزمرة الجزئية البرتقالية اللون.
نعم، هذا بسيط. فما هو المشتت؟
لقد صنفت معظم الزمر البسيطة إلى عائلات زمر بسيطة، لها عدد غير منته من العناصر. لكن هناك 26 زمرة بسيطة غريبة الأطوار لا تنتمي إلى أية عائلة من هذه العائلات، وليس لها خواص مشتركة. وحتى يتفادى الرياضياتيون مصطلحا مثل متنوع miscellaneous، فقد فضلوا تسميتها مشتتة sporadic.
<P. برون>، هيئة التحرير


الزمر البسيطة تعمل

إن زمرة التبديلات المولَّدة بحركتي M24 هي زمرة ماتيو M24. وكما هو حال M12 فإن M24 تتمتع بخاصية «انتقال الخمسة»: انطلاقا من تركيب الحركتين يمكن معالجة الترتيب حتى تأخذ أي خمسة أعداد من بين ال24عددا مكان أي خمسة مواقع من بين الـ 24 موقعا. وبفضل خاصية «انتقال الخمسة» فهنا أيضا سيساعدنا إرشادنا لحل الأحجية M12 على حلّ الأحجية M24: لنبحث عن حركات تجعل الأعداد من 1 إلى 5 تعود إلى مواقعها الأصلية دون إحداث تغيير في مواقع الأعداد التي تحتل الأماكن المناسبة. لكن الحل في هذه الحالة لن يكون مكتملا. فالزمرة M24 لديها 24x 23 x 22 x 21 x 20 x 48، أي040 823 244، عنصرا؛ ومن ثمّ، فحتى إن أعدنا الأعداد من 1 حتى 5 إلى مواقعها الأصلية، فليس مستبعدا أن تظل الـ 19 عددا المتبقية موزعة حول الدائرة بـ 48 طريقة مختلفة.


[لقطات من الشاشة]
ماذا ستجدون على شبكة الإنترنت(**********)
صمّمت أحجية ماتيو M12 التي تمثّل الزمرة البسيطة المشتتةM12 من قبل كاتبي المقالة حتى تُلْعب مباشرة على الإنترنت. تبدأ الأحجية ببعثرة الأعداد من 1 حتى 12. والهدف هو إعادة الأعداد إلى الترتيب الطبيعي باستخدام تركيبات مكوّنة من حركتين تنجز بمجرد الضغط على زرّ. يوضح الشكل أثر كل حركة على الأعداد المبعثرة.
الزمر البسيطة تعمل
الزمر البسيطة تعمل
الزمر البسيطة تعمل
أحجية ماتيو الثانية M24 تمثّل الزمرة البسيطة المشتتة M24. في حالة الترتيب الصحيح تكون الأعداد من 1 إلى 23 مرتبة على دائرة وفق حركة عقارب الساعة، ثم نضع 0 خارج الدائرة عند موقع الساعة الـ 12. وكما هو الحال في أحجية M12 فالهدف هو إعادة ترتيب الأعداد المبعثرة حتى تعود إلى الترتيب الطبيعي. للأحجية M24 أيضا حركتان. حركة تدير الدائرة ب«درجة» واحدة، بحيث ينتقل العدد من الموقع 1 إلى الموقع 2، والعدد الذي في الموقع 2 إلى الموقع 3، وهكذا دواليك. أما العدد ذو الموقع 23 فينتقل إلى الموقع 1، ثم إن العدد الخارج عن الدائرة يظل مثبتا. وفعل الحركة الثانية ينحصر في مبادلة زوج العددين على الدائرة اللذين لهما اللون نفسه.
الزمر البسيطة تعمل

أما أحجيتنا الأخيرة فهي دوتو التي تمثل زمرة كونواي Co0 Conway المكتشفة عام 1968 من قبل الرياضياتي <H.J. كونواي> [من جامعة پرنستون Princton]. تحتوي الزمرة Co0 على الزمرة البسيطة المشتتة Co1، ولها بالضبط ضعف عدد عناصر الزمرة Co1. وقد سميت هذه الزمرة باسم كونواي أي Co0الذي كان شديد التواضع، حيث أشار إلى هذه الزمرة ب0، ومن هنا جاء لفظ دوتو.

ينبغي أن نترك تفاصيل أحجية «دوتو» لنقاشنا المباشر (على شبكة الإنترنت). غير أنه بإمكاننا الإشارة إلى أن كلا من الأحجية والزمرة المرفقة بها تتمتع بخواص رياضياتية شيّقة. والملاحظ أن الأحجية مرتبطة ارتباطا وثيقا بشبكية ليخ lattice Leech، وهي مجموعة «نقاط» أو قوائم مرتبة من الأعداد ضمن فضاء بعده 24. ومن المعروف أن من بين كافة أغلفة الكرات المنشأة ـ في فضاء بعده 24 ـ بجعل مراكز «الكرات» (ذات الـ 24 بعدًا) في نقاط من شبكية، هناك غلاف كرة يعتمد على شبكية «ليخ» سيكون هو أضيقها.

الأطفال والوحوش(***********)
هناك فقط أربع زمر بسيطة مشتتة تتجاوز في حجمها Co1: هي زمرة <جانكو> F4 وزمرة <فيشر> Fi24والطفل الوحش Baby Monster B والوحش Monster M. وطبقا للتسميات فإن أضخم هذه الزمر هي زمرة الوحش التي تتكون من 8 x 1053 عنصر، وقد أنشئت عام 1980 من قبل <L.R. گريس> [من جامعة متشيگان بآن آربر] كزمرة التحويلات لبُنْية رياضياتية معقدة في فضاء بعده884 196 .

إننا لم نحاول إنشاء محيّرات تعتمد على أية زمرة بسيطة مشتتة أخرى ـ على الرغم من أننا واثقون بإمكانية ذلك الإنشاء في بعض الحالات. غير أن تصميم أية محيّرة معقولة تعتمد على زمرة «الوحش» سيكون مشروعا رياضياتيا عويصا. والسبب في ذلك هو أننا لا نعلم ما إذا كانت زمرة «الوحش» تمثل زمرة تبديل لكائن صغير صغرا يتيح رؤيته، على الرغم من أن هناك مخمّنة conjecture تقول إن زمرة تبديل لفضاء منحنٍ بعده 24. وإذا ما تمّ التوصل إلى تصميم «أحجية الوحش» فلا شك أن ذلك سيقرّب الرياضياتيين من برهان هذه المخمّنة الأخّاذة.

للحصول على قائمة الزمر المشتتة انظر:
Sporadic Group. Eric W. Weisstein in MathWorld- A Wolfram Web Ressource. [عزيزى الزائر لايمكنك مشاهده الروابط الا بعد التسجيلللتسجيل اضغط هنا]

المؤلفان
<كريز>أستاذ لمادة الرياضيات بجامعة متشيگان Michigan في آن آربر Ann Arbor، حيث يهتم بالطبولوجيا الجبرية والفيزياء الرياضياتية، وقد حاز الدكتوراه في الرياضيات من جامعة شارلز Charles في براگ؛

أما <سيگل> فقد قام بهذا العمل عندما كان يزاول دراسته الجامعية الأولى بجامعة متشيگان، والآن هو يحضر الدكتوراه في الرياضيات بجامعة ولاية پنسلفينيا.

Igor Kriz -



Paul Siegel


مراجع للاستزادة

الزمر البسيطة تعمل
(*) SIMPLE GROUPS AT PLAY
(**) Puzzles and Their Groups
(***) RUBIK'S CUBE CODED
(****) "Atoms" of Symmetry
(*****) THREE PUZZLES, SO MANY MOVES
(******) Sporadic Simple Puzzles
(*******) RUBIK'S CUBE DECODED
(********) Puzzles Not for the Faint of Heart
(*********) WHAT IS A SPORADIC SIMPLE GROUP?
(**********) WHAT YOU'LL FIND ONLINE
(***********) Of Babies and Monsters
(1) cube-meister
(2) أي كل وجه بلون واحد.
(3) أي الحرف المعبّر عن اللون.

من مجلة العُلوم

ساعد في نشر والارتقاء بنا عبر مشاركة رأيك في الفيس بوك


الموضوع الأصلي: الزمر البسيطة وهي تعمل || الكاتب: mo7med || المصدر: اسم منتداك

كلمات البحث

العاب ، برامج ، سيارات ، هاكات ، استايلات








رد مع اقتباس
إضافة رد

مواقع النشر (المفضلة)

الكلمات الدلالية (Tags)
البسيطة, الزمر, تعلم

أدوات الموضوع
انواع عرض الموضوع

تعليمات المشاركة
لا تستطيع إضافة مواضيع جديدة
لا تستطيع الرد على المواضيع
لا تستطيع إرفاق ملفات
لا تستطيع تعديل مشاركاتك

BB code is متاحة
كود [IMG] متاحة
كود HTML معطلة

الانتقال السريع

Facebook Comments by: ABDU_GO - شركة الإبداع الرقمية

Bookmark and Share


الساعة الآن 06:59 AM.

أقسام المنتدى

لغة الفيزياء | الفيزياء العامة | الفيزياء الحديثة | الفيزياء النووية | المحاضرات عن بعد | تكنو فيز | الوسائط التعليمية | الفيديو العلمي | طرق وأساليب التدريس | الأجهزة التعليمية | البرامج والمواد التعليمية | فيزياء المرحلة الثانوية (نظام المقررات ) | الترجمة | الأخبار العلمية والتكنولوجيا | لغة الأدب | الأدب العربي | الأدب النبطي | لغتنا العربية | الركن الهادئ | لغة الذات | دورات وقراءات | الميديا التنموية | الروحانيات | اسأل طبيبك | استراحة المنتدى | لقاء العائلة | شاركنا أخبارك | التعارف والترحيب بين الأعضاء | منتدى الإدارة | القرارات الإدارية | تواصل مع الإدارة | منتدى الاقتراحات والملاحظات | ريشة فنان | منتدى المواضيع المحذوفة والمكررة | الفيزياء الطبية | مسار محاضرات الفيزياء | مسار محاضرات الفيزياء الجزء الأول (1و2و3) | مسار محاضرات الفيزياء الجزء الثاني (4و5و6) |



Powered by vbulletin
Copyright ©2000 - 2020.


HêĽм √ 3.1 BY: ! ωαнαм ! © 2010

أن المنتدى غير مسئول عما يطرح فيه أفكار وهي تعبر عن آراء كاتبها

This Forum used Arshfny Mod by islam servant

هذا الموقع يستعمل منتجات MARCO1

جميع الحقوق محفوظة لموقع لغة الروح |تصميم المتحدة لخدمات الانترنت